Quantcast

Independence of ℓ and traces on cohomology

Research paper by Martin Olsson

Indexed on: 14 Apr '16Published on: 13 Apr '16Published in: PNAS



Abstract

Let k be an algebraically closed field, and let <mml:math><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">→</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>f:X→X be an endomorphism of a separated scheme of finite type over k. We show that for any <mml:math><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:math>ℓ invertible in k, the alternating sum of traces <mml:math><mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="true"><mml:msub><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">tr</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mtext>*</mml:mtext></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">ℚ</mml:mi><mml:mi>ℓ</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mrow></mml:math>∑i(−1)itr(f*|Hi(X,ℚℓ)) of pullback on étale cohomology is a rational number independent of <mml:math><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math>ℓ. This is deduced from a more general result for motivic sheaves.