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Der beiderseits gestützte, symmetrisch belastete gerade Stab mit endlicher Durchbiegung und seine Stabilität

Research paper by Rudolf Sonntag

Indexed on: 01 Oct '41Published on: 01 Oct '41Published in: Archive of Applied Mechanics



Abstract

Zu den bisher noch ungelösten Problemen der Elastizitätstheorie gehört die Aufgabe, den Spannungs- und Formänderungszustand des beiderseits gestützten Stabes zu ermitteln, der eine symmetrische Belastung, z. B. eine Einzellast in der Mitte trägt, und der eine elastische Durchbiegung von solcher Größe zuläßt, daß sie mit der Spannweite vergleichbar wird. Daß eine Lösung dieser Aufgabe — die für den Fall „kleiner Durchbiegungen“ eines der wichtigsten und zugleich einfachsten Anwendungsbeispiele der elementaren Biegungslehre darstellt — bis heute noch aussteht, muß um so mehr überraschen, als sie die Voraussetzung zur Beantwortung der ebenfalls noch offenen Frage bildet, was man unter einer „kleinen Durchbiegung“ im Sinne der technischen Biegungslehre zu verstehen hat. Die vorliegende Arbeit setzte sich zum Ziel, diese in der Elastizitäts- und Festigkeitslehre vorhandenen Lücken zu schließen, und zwar für die beiden praktisch wichtigsten Fälle des statisch bestimmt gestützten und des frei aufliegenden Stabes, die beide eine ungehinderte Drehung der Stabenden zulassen und die Zentrallinie des Stabes ungedehnt lassen. Da es gelingt, die nichtlineare Aufgabe mit Hilfe der elementaren Methoden der Festigkeitslehre zu lösen und damit gleichzeitig dem Geltungsbereich der technischen Biegungslehre die noch fehlende obere Schranke hinsichtlich der Formänderung zu setzen, so stellt die hier durchgeführte Untersuchung in zweifacher Hinsicht einen Beitrag zur elementaren Festigkeitslehre dar. Das dabei angewandte Lösungsverfahren, das zunächst die elastische Linie durch den mit ihr längengleichen Kreisbogen ersetzt, darf als ein hochwertiges Näherungsverfahren bezeichnet werden, da es zu Ergebnissen führt, die mit den experimentell erhaltenen, sowie mit den zum Vergleich herangezogenen Ergebnissen eines streng gelösten Elastikaproblems innerhalb der praktisch allein interessierenden Gebiete so gut wie völlig übereinstimmen. Mit der Lösung der Aufgabe für den frei aufliegenden Stab findet ferner eine Ausweicherscheinung desselben, die im nichtlinearen Bereich der Durchbiegung auftritt, ihre theoretische, durch Versuche bestätigte Aufklärung. Zum Schluß wird das Verfahren noch auf einige Aufgaben verwandter Art angewandt und gezeigt, daß sich mit seiner Hilfe auch der wesentlich verwickeltere Vorgang des Rundbiegens eines Bleches auf der Presse ohne Schwierigkeit verfolgen läßt, der als elastisches Problem allgemein interessiert, wenn das Blech die Rasierklinge und die Presse der Rasierapparat ist.